Kūgio skaičiuoklė
Apskaičiuokite kūgio tūrį, paviršiaus plotą ir šoninį aukštį – arba raskite trūkstamą matmenį.
Matmenys
Atnaujinama, kol rašoteFormulė
- V
- Kūgio tūris
- SA
- Bendras paviršiaus plotas (pagrindas + šoninis)
- r
- Pagrindo spindulys
- h
- Statmenas aukštis
- ℓ
- Šoninis aukštis = √(r² + h²)
- π
- Pi ≈ 3,14159
- r² = —
- Šoninis ℓ = √(r² + h²) = —
- Pagrindo plotas = πr² = —
- Šoninis plotas = πrℓ = —
- Tūris V = ⅓πr²h = —
- Paviršiaus plotas SA = πr(r + ℓ) = —
Kūgio tūris yra lygiai trečdalis cilindro tūrio (su tuo pačiu pagrindu ir aukščiu). Šoninis aukštis – tai atstumas nuo viršūnės tiesiai į pagrindo briauną – patogu pjauti kūgio formos detales iš plokščio lakšto.
Pavyzdžiai
Kaip tai veikia
Šoninės briaunos ilgis (ℓ) – tai tiesės atstumas nuo viršūnės iki pagrindo briaunos, matuojamas paviršiumi. Jis gaunamas iš Pitagoro teoremos: ℓ = √(r² + h²). Šoninės briaunos ilgis reikalingas, kai iš plokščio lakšto pjaunate kūgio formos detales – popierines kepures, lempos gaubtus arba skardinius piltuvus – nes šoninis paviršius išlankstomas į apskritimo sektorių, kurio spindulys lygus ℓ.
Tūrio formulė V = ⅓ π r² h atspindi klasikinį geometrinį faktą: kūgis užima lygiai trečdalį cilindro tūrio, kai jų pagrindas ir aukštis tie patys. Bendras paviršiaus plotas SA = π r (r + ℓ) sudėdamas apskrito pagrindo plotą (π r²) ir šoninį paviršių (π r ℓ). Ši skaičiuoklė veikia ir atvirkščiai – pasirinkite „Rasti aukštį“ arba „Rasti spindulį“, kad pagal tikslinį tūrį surastumėte trūkstamą matmenį.
Patarimai ir geroji praktika
Dažniausiai užduodami klausimai
Kuo skiriasi aukštis ir šoninės briaunos ilgis?
Aukštis (h) – tai statmenas atstumas nuo pagrindo centro tiesiai į viršūnę, matuojamas kūgio viduje. Šoninės briaunos ilgis (ℓ) – tai atstumas išoriniu paviršiumi nuo viršūnės iki pagrindo krašto. Jie susiję formule ℓ = √(r² + h²). Aukštis naudojamas tūriui skaičiuoti, o šoninės briaunos ilgis – paviršiaus plotui ir plokščiam kirpimui.
Kodėl tūrio formulė yra V = ⅓ π r² h?
Kūgis telpa cilindre, turinčiame tokį patį pagrindą ir aukštį, ir užima lygiai trečdalį to cilindro tūrio. Tai galima įrodyti integralu (integruojant skritulio formos skerspjūvius) arba fiziniu eksperimentu – tris kartus pripildę kūgį, pripildysite atitinkamą cilindrą. Kadangi cilindro tūris yra πr²h, kūgio – trečdalis to: ⅓ π r² h.
Kaip apskaičiuoti tik šoninį (be pagrindo) paviršiaus plotą?
Šoninis paviršiaus plotas – viskas, išskyrus skritulio formos pagrindą – yra π r ℓ, kur ℓ – šoninės briaunos ilgis. Šio dydžio reikia, kai pjaunate medžiagą atviram kūgiui (be dugno), pavyzdžiui, raganos kepurei ar popieriniam puodeliui. Bendras paviršiaus plotas pridedamas su pagrindu: SA = π r² + π r ℓ = π r (r + ℓ).
Ar galiu rasti spindulį, žinodamas tūrį ir aukštį?
Taip. Perjunkite skaičiuoklę į režimą Rasti spindulį ir įveskite tikslinį tūrį bei aukštį. Formulė: r = √(3V / (π h)). Pavyzdžiui, tikslinis tūris 1 000 cm³ esant 15 cm aukščiui duoda spindulį √(3000 / (π × 15)) ≈ 7,98 cm.
Kas yra nupjautinis kūgis ir ar šis skaičiuotuvas jį palaiko?
Nupjautinis kūgis – tai kūgis, kurio viršūnė nupjauta, pavyzdžiui, popierinis puodelis ar kelio kūgis. Šis skaičiuotuvas dirba tik su pilnais kūgiais. Nupjautinio kūgio tūriui rasti, apskaičiuokite pilno kūgio tūrį ir atimkite mažesnio (nupjauto) kūgio tūrį: V = ⅓ π h (R² + R r + r²), kur R ir r – du spinduliai.