Kegel-Rechner
Berechne Volumen, Oberfläche und Mantellinie eines Kegels — oder löse nach einer fehlenden Dimension auf.
Abmessungen
Aktualisiert beim TippenFormel
- V
- Volumen des Kegels
- SA
- Gesamte Oberfläche (Grundfläche + Mantel)
- r
- Grundradius
- h
- Senkrechte Höhe
- ℓ
- Mantellinie = √(r² + h²)
- π
- Pi ≈ 3,14159
- r² = —
- Mantellinie ℓ = √(r² + h²) = —
- Grundfläche = πr² = —
- Mantelfläche = πrℓ = —
- Volumen V = ⅓πr²h = —
- Oberfläche SA = πr(r + ℓ) = —
Ein Kegel fasst genau ein Drittel des Volumens eines Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe. Die Mantellinie ist der Abstand von der Spitze entlang der Seite zum Rand — nützlich beim Zuschneiden von kegelförmigem Material aus einem flachen Blatt.
Beispiele
So funktioniert's
Die Mantellinie (ℓ) ist der geradlinige Abstand von der Spitze zum Rand der Grundfläche, gemessen entlang der Oberfläche. Sie folgt aus dem Satz des Pythagoras: ℓ = √(r² + h²). Die Mantellinie brauchst du, wenn du kegelförmiges Material aus einer flachen Platte zuschneidest — für Papierhüte, Lampenschirme oder Blechtrichter — denn die Mantelfläche entrollt sich zu einem Kreissektor mit Radius gleich ℓ.
Die Volumenformel V = ⅓ π r² h spiegelt eine klassische geometrische Tatsache wider: Ein Kegel fasst genau ein Drittel des Volumens eines Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe. Die Gesamtoberfläche SA = π r (r + ℓ) kombiniert die kreisförmige Grundfläche (π r²) und die Mantelfläche (π r ℓ). Dieser Rechner kann auch umgekehrt arbeiten — wähle „Höhe finden" oder „Radius finden", um eine fehlende Dimension zu bestimmen, die ein Zielvolumen ergibt.
Tipps & bewährte Praxis
Häufig gestellte Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Höhe und Mantellinie?
Die Höhe (h) ist der senkrechte Abstand vom Mittelpunkt der Grundfläche gerade nach oben zur Spitze — gemessen durch das Innere des Kegels. Die Mantellinie (ℓ) ist der Abstand entlang der Außenfläche von der Spitze zum Rand. Sie sind durch ℓ = √(r² + h²) verbunden. Verwenden Sie die Höhe für das Volumen, die Mantellinie für die Oberfläche und den flachen Zuschnitt.
Warum lautet die Volumenformel V = ⅓ π r² h?
Ein Kegel passt in einen Zylinder mit gleicher Grundfläche und Höhe und nimmt genau ein Drittel des Zylindervolumens ein. Dies lässt sich mit Analysis (Integration kreisförmiger Querschnitte) oder durch ein physikalisches Experiment beweisen — füllen Sie einen Kegel dreimal und Sie füllen den passenden Zylinder. Da das Zylindervolumen πr²h beträgt, ist das Kegelvolumen ein Drittel davon: ⅓ π r² h.
Wie berechne ich nur die Mantelfläche (Seitenfläche)?
Die Mantelfläche — alles außer der kreisförmigen Grundfläche — ist π r ℓ, wobei ℓ die Mantellinie ist. Diese Zahl benötigen Sie, wenn Sie Material für einen offenen Kegel (ohne Boden) zuschneiden, wie einen Hexenhut oder einen Papiertrinkbecher. Die Gesamtoberfläche addiert die Grundfläche: SA = π r² + π r ℓ = π r (r + ℓ).
Kann ich den Radius finden, wenn ich Volumen und Höhe kenne?
Ja. Stellen Sie den Rechner auf den Modus Radius finden und geben Sie Ihr Zielvolumen und die Höhe ein. Die Formel lautet r = √(3V / (π h)). Beispiel: Ein Zielvolumen von 1.000 cm³ bei einer Höhe von 15 cm ergibt einen Radius von √(3000 / (π × 15)) ≈ 7,98 cm.
Was ist ein Kegelstumpf, und kann dieser Rechner ihn behandeln?
Ein Kegelstumpf ist ein Kegel, dessen Spitze abgeschnitten wurde — wie ein Pappbecher oder ein Verkehrshütchen. Dieser Rechner behandelt nur vollständige Kegel. Um das Volumen eines Kegelstumpfs zu finden, berechne das Volumen des vollständigen Kegels und ziehe das Volumen des kleineren entfernten Kegels ab: V = ⅓ π h (R² + R r + r²), wobei R und r die beiden Radien sind.