Natürlicher-Logarithmus-Rechner
Berechnen Sie ln(x) = log zur Basis e von x mit exakten Werten, Exponentialform und Tabelle gängiger Werte.
Eingabe
Aktualisiert beim TippenModus
Wonach möchten Sie auflösen? ?
Argument
Zahl x ?
—
Ziel
Wert von ln(x) = y ?
—
Basis
Zielbasis b ?
—
y = ln(x)
Aktueller Punkt markiertx = — · ln(x) = —
y = ln(x)
Aktuelles x
Gängige Werte
Klicken Sie eine Zeile an, um sie zu laden| x | ln(x) | log₁₀(x) | Hinweis |
|---|
Formel
ln(x)
=
loge(x)
,
e ≈ 2.71828…
- x
- Argument des Logarithmus; muss strikt > 0 sein
- e
- Eulersche Zahl, die einzige Basis, für die d/dx eˣ = eˣ gilt
- ln(1) = 0
- Jeder Logarithmus von 1 ist null
- ln(e) = 1
- Logarithmus der Basis ist gleich 1
Produkt: ln(a · b) = ln(a) + ln(b)
Quotient: ln(a / b) = ln(a) − ln(b)
Potenz: ln(aᵏ) = k · ln(a)
Kehrwert: ln(1/a) = −ln(a)
Ableitung: d/dx ln(x) = 1/x
Integral: ∫ ln(x) dx = x · ln(x) − x + C
Reihe (|x − 1| ≤ 1): ln(1 + u) = u − u²/2 + u³/3 − u⁴/4 + …
Grenzwert: limx→0⁺ ln(x) = −∞, limx→∞ ln(x) = ∞
Umkehrung: ln(eˣ) = x und e^(ln(x)) = x
Basiswechsel: logb(x) = ln(x) / ln(b)
Brücke zu log₁₀: log₁₀(x) = ln(x) / ln(10) ≈ ln(x) · 0.4343
Natürliches Wachstum: x(t) = x₀ · e^(rt) ⇒ t = ln(x/x₀) / r
Rechenbeispiel — Ihre Zahlen
- Eingabe: x = —
- ln(x) = log_e(x), wobei e ≈ 2,71828
- ln(—) = —
- Exponentialform: —
- Brücke: log₁₀(x) = ln(x) / ln(10) ≈ —
Natürliche Logarithmen treten überall dort auf, wo Größen kontinuierlich wachsen oder zerfallen — radioaktiver Zerfall, Halbwertszeiten, kontinuierlich verzinste Zinsen, pH-Chemie und Informationsentropie. Die „natürliche" Wahl der Basis e macht die Ableitungsregel sauber: Die Steigung von ln an einem beliebigen Punkt x beträgt genau 1/x.