Arkuskosinus-Rechner
Berechne arccos(x) = cos⁻¹(x) mit exakten Werten, Definitionsbereichsprüfung und Ergebnissen in Grad und Radiant.
cos⁻¹(x)
Aktualisiert beim Tippen| x | Grad | Radiant |
|---|
Formel & Definition
- x
- Eine reelle Zahl zwischen −1 und 1 (einschließlich). Stellt ein Kosinusverhältnis dar — die x-Koordinate eines Punkts auf dem Einheitskreis.
- θ
- Der Hauptwert-Winkel, dessen Kosinus x entspricht. Arccos gibt nur eine Lösung zurück, obwohl unendlich viele Winkel denselben Kosinus teilen.
- Notation
- arccos(x), cos⁻¹(x) und acos(x) bezeichnen alle dieselbe Funktion. Der Hochindex −1 bezeichnet die Umkehrung, nicht den Kehrwert.
- Quadranten
- Der Hauptwert liegt in Q1, wenn x > 0 (Winkel 0°–90°), und in Q2, wenn x < 0 (Winkel 90°–180°). Anders als arcsin gibt arccos niemals einen negativen Winkel zurück.
- Identität
- arccos(−x) = π − arccos(x). Andere Winkel mit demselben Kosinus sind ±θ + 360°k für jede ganze Zahl k.
Schritt für Schritt
Häufig gestellte Fragen
Was ist arccos und was macht es?
Arccos (auch cos⁻¹ oder acos geschrieben) ist die Umkehrfunktion des Kosinus. Gegeben einen Kosinuswert x zwischen −1 und 1 gibt sie den eindeutigen Winkel θ in [0°, 180°] zurück, dessen Kosinus x entspricht. Es ist die Funktion, die Sie verwenden, um einen Winkel zurückzugewinnen, wenn Sie nur das Kosinusverhältnis kennen.
Warum akzeptiert arccos nur Eingaben zwischen −1 und 1?
Der Kosinus jedes reellen Winkels ist durch [−1, 1] begrenzt — das ist der Wertebereich von cos(θ). Eine Eingabe außerhalb dieses Bereichs kann also nicht dem Kosinus eines reellen Winkels entsprechen, und arccos ist dort nicht definiert. (Es ist für komplexe Zahlen definiert, aber dieser Rechner arbeitet im Reellen.)
Warum gibt arccos nur einen Winkel zurück, wenn viele Winkel denselben Kosinus haben?
Der Kosinus ist periodisch und nicht eineindeutig — z. B. cos(60°) = cos(300°) = cos(420°) = ½. Um die Umkehrung zu einer Funktion zu machen, beschränken Mathematiker die Ausgabe auf den Hauptbereich [0°, 180°]. Alle anderen gültigen Winkel lassen sich als ±θ + 360°·k für jede ganze Zahl k gewinnen.
Was ist der Unterschied zwischen arccos und 1/cos?
Sie sind nicht verwandt. arccos(x) ist die Umkehrfunktion — sie gibt einen Winkel zurück. 1/cos(x) = sec(x) ist der Sekans — er gibt ein Verhältnis zurück. Die Notation cos⁻¹(x) bedeutet die Umkehrung, nicht den Kehrwert.
Wann würde ich arccos in realen Problemen verwenden?
Arccos ist unerlässlich, wann immer Sie ein Kosinusverhältnis kennen und den Winkel brauchen. Übliche Anwendungen: den Winkel zwischen zwei Vektoren mit dem Skalarprodukt finden (θ = arccos(u·v / (|u||v|))), einen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck aus dem Verhältnis Ankathete/Hypotenuse zurückgewinnen und Dreiecksprobleme mit dem Kosinussatz, bei denen Sie nach einem Innenwinkel auflösen.