Finansai ir mokesčiai Data ir laikas Sveikata ir gyvensena Matematika Geometrija Aukštoji matematika Matavimo vienetų keitikliai Energija ir namai Statybos Įrankiai programuotojams Teksto įrankiai Gyvensenos keitikliai Vaizdai ir failai

Kvadratinių lygčių sprendėjas

Spręsk bet kokią kvadratinę lygtį ax² + bx + c = 0 su žingsnis po žingsnio diskriminanto analize.

Lygtis

Atnaujinama rašant
Forma
Kokia forma pateikta tavo lygtis? ?
Peržiūra
x² − 5x + 6 = 0
Koeficientai
a — vyresnysis koeficientas ? atsiveria į viršų
b — tiesinis narys ? —
c — laisvasis narys ? —
Išbandyk pavyzdį

Parabola

Parabola Vertex Roots

Žingsnis po žingsnio sprendimas

    Formulė

    x = −b ± √(b² − 4ac) 2a
    a
    x² koeficientas (vyresnysis narys)
    b
    x koeficientas (tiesinis narys)
    c
    Laisvasis narys (taip pat y ašies sankirta)
    D
    Diskriminantas = b² − 4ac — D ženklas rodo, kiek yra realiųjų šaknų
    Pavyzdys su jūsų reikšmėmis
    1. a, b, c = —
    2. D = b² − 4ac = —
    3. √D = —
    4. 2a = —
    5. x = —

    Diskriminanto ženklas klasifikuoja šaknis: teigiamas duoda dvi skirtingas realiąsias šaknis (parabolė kerta x ašį du kartus), nulis — vieną pasikartojančią realiąją šaknį (parabolė liečia x ašį), neigiamas — kompleksinę jungtinę porą (parabolė neliečia x ašies).

    Pavyzdžiai

    Kaip tai veikia

    Kiekvieną kvadratinę lygtį galima užrašyti kaip ax² + bx + c = 0, kur a, b ir c yra realieji skaičiai, o a ≠ 0. Raktas į sprendimą — diskriminantas D = b² − 4ac, kuris lemia, kiek realiųjų sprendinių yra.

    Kai D > 0, parabolė kerta x ašį dviejuose skirtinguose taškuose, taigi yra dvi realiosios šaknys. Kai D = 0, parabolė tik paliečia x ašį savo viršūnėje, duodama vieną pasikartojančią šaknį. Kai D < 0, parabolė nepasiekia x ašies, todėl sprendiniai yra kompleksinės jungtinės su menamuoju vienetu i.

    Kvadratinė formulė x = (−b ± √D) / (2a) tinka visiems trims atvejams. Šis sprendiklis apskaičiuoja diskriminantą, pritaiko formulę, randa viršūnę taške (−b/2a, f(−b/2a)) ir nubrėžia parabolę, kad galėtum įsivaizduoti ryšį tarp lygties ir jos sprendinių.

    Patarimai ir geroji praktika

    Patikrink Vietos formulėmis: šaknų suma lygi −b/a, o sandauga — c/a. Naudok jas patikrinti sprendiniams be pakartotinio skaičiavimo.
    Pirma bandyk faktorizuoti: jei koeficientai maži sveiki skaičiai, faktorizavimas dažnai greitesnis už kvadratinę formulę. Ieškok dviejų skaičių, kurių sandauga a·c, o suma b.
    Naudok viršūnę grafikui: viršūnė (−b/2a, f(−b/2a)) ir atsivėrimo kryptis (aukštyn, jei a > 0, žemyn, jei a < 0) nurodo pagrindinę parabolės formą.
    Koeficientas a negali būti nulis: jei a = 0, lygtis tampa tiesine (bx + c = 0) ir turi daugiausia vieną sprendinį, ne du. Prieš taikydamas kvadratinę formulę, visada patikrink, ar a ≠ 0.

    Susijusios skaičiuoklės

    Apskritimo skaičiuoklė
    Geometrija
    Procentų skaičiuoklė
    Finansai ir mokesčiai
    Ilgio keitiklis
    Matavimo vienetų keitikliai
    Betono skaičiuoklė
    Statybos

    Dažniausiai užduodami klausimai

    Kas yra kvadratinė lygtis?

    Kvadratinė lygtis — antrojo laipsnio polinominė lygtis, užrašoma ax² + bx + c = 0, kur a ≠ 0. Pavadinimas „kvadratinė“ kilęs iš „quad“ (kvadratas), nes kintamasis pakeltas kvadratu.

    Diskriminantas (b² − 4ac) atskleidžia šaknų pobūdį. Jei teigiamas — yra du skirtingi realieji sprendiniai. Jei nulis — vienas realusis sprendinys (pasikartojanti šaknis). Jei neigiamas — dvi kompleksinės jungtinės šaknys.

    Kvadratinė lygtis neturi realiųjų sprendinių, kai diskriminantas (b² − 4ac) neigiamas. Grafiškai tai reiškia, kad parabolė nekerta x ašies. Sprendiniai egzistuoja kaip kompleksiniai skaičiai su menamuoju vienetu i.

    Gali spręsti kvadratine formule, faktorizavimu, pilno kvadrato išskyrimu arba grafiškai. Kvadratinė formulė tinka visais atvejais, o faktorizavimas greitesnis, kai lygtis turi paprastas sveikąsias šaknis.

    Viršūnė — aukščiausias arba žemiausias parabolės taškas. Lygčiai y = ax² + bx + c viršūnės x koordinatė yra −b/(2a), o y koordinatė randama įstatant atgal. Jei a > 0, viršūnė — minimumas; jei a < 0 — maksimumas.

    Kad faktorizuotum ax² + bx + c, rask du skaičius, kurių sandauga a·c, o suma b. Perrašyk vidurinį narį naudodamas tuos skaičius ir faktorizuok grupuodamas. Pavyzdžiui, x² − 5x + 6 faktorizuojasi kaip (x − 2)(x − 3), nes −2 × −3 = 6 ir −2 + −3 = −5.

    Pilno kvadrato išskyrimas perrašo ax² + bx + c į formą a(x − h)² + k. Perkelk c į kitą pusę, pridėk (b/2a)² prie abiejų pusių, tada faktorizuok kairę pusę kaip pilną kvadratą. Iš šio metodo ir yra išvedama pati kvadratinė formulė.

    Taip. Kai diskriminantas lygus nuliui, kvadratinė turi tiksliai vieną pasikartojančią realiąją šaknį. Grafiškai parabolė tik paliečia x ašį viename taške (viršūnėje). Pavyzdys: x² − 6x + 9 = 0 turi vieną šaknį x = 3.

    Vietos formulės susieja kvadratinės lygties šaknis su jos koeficientais. Lygčiai ax² + bx + c = 0 su šaknimis r₁ ir r₂: suma r₁ + r₂ = −b/a, o sandauga r₁ · r₂ = c/a. Naudingos tikrinant atsakymus tiesiogiai neskaičiuojant šaknų.

    Kvadratinės lygtys modeliuoja sviedinio judėjimą (kamuolio metimą), skaičiuoja plotus optimizavimo uždaviniams, aprašo palydovinių antenų ir parabolinių veidrodžių formą, atsiranda fizikoje, inžinerijoje, ekonomikoje (pelno maksimizavime) ir kompiuterinėje grafikoje.