Lösungsrechner für quadratische Gleichungen
Lösen Sie jede quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 mit Schritt-für-Schritt-Analyse der Diskriminante.
Gleichung
Aktualisiert beim TippenParabola
Schritt-für-Schritt-Lösung
Formel
- a
- Koeffizient von x² (Leitterm)
- b
- Koeffizient von x (linearer Term)
- c
- Konstanter Term (auch y-Achsenabschnitt)
- D
- Diskriminante = b² − 4ac — das Vorzeichen von D zeigt, wie viele reelle Nullstellen es gibt
- a, b, c = —
- D = b² − 4ac = —
- √D = —
- 2a = —
- x = —
Das Vorzeichen der Diskriminante klassifiziert die Nullstellen: positiv liefert zwei verschiedene reelle Nullstellen (die Parabel schneidet die x-Achse zweimal), Null liefert eine doppelte reelle Nullstelle (die Parabel berührt die x-Achse), negativ liefert ein konjugiert-komplexes Paar (die Parabel berührt die x-Achse nicht).
- (h, k)
- Koordinaten des Scheitelpunkts (h = −b / 2a, k = c − b² / 4a)
- a
- Derselbe Leitkoeffizient wie in der Standardform
Die Scheitelpunktform macht den Wendepunkt offensichtlich. Wenn a und k dasselbe Vorzeichen haben, schneidet die Parabel die x-Achse nicht und die Nullstellen sind komplex.
- r₁, r₂
- Die zwei reellen Nullstellen — wo die Parabel die x-Achse schneidet
Funktioniert nur, wenn die Diskriminante nicht negativ ist (reelle Nullstellen existieren). Bei komplexen Nullstellen wird die faktorisierte Form mit konjugiert komplexen Werten r₁ = p + qi, r₂ = p − qi ausgedrückt.
- Summe
- Die Summe der Nullstellen ist gleich −b/a, unabhängig davon, ob die Nullstellen reell oder komplex sind
- Produkt
- Das Produkt der Nullstellen ist gleich c/a — eine schnelle Plausibilitätsprüfung nach dem Faktorisieren
Mit dem Satz von Vieta können Sie Faktorisierungen überprüfen, ohne die Nullstellen explizit zu berechnen, und er lässt sich auf Polynome höheren Grades verallgemeinern.
Beispiele
So funktioniert's
Ist D > 0, schneidet die Parabel die x-Achse an zwei verschiedenen Punkten und liefert zwei reelle Nullstellen. Ist D = 0, berührt die Parabel die x-Achse nur in ihrem Scheitelpunkt und liefert eine doppelte Nullstelle. Ist D < 0, erreicht die Parabel die x-Achse nie, die Lösungen sind dann komplex konjugiert und enthalten die imaginäre Einheit i.
Die Lösungsformel x = (−b ± √D) / (2a) deckt alle drei Fälle ab. Dieser Löser berechnet die Diskriminante, wendet die Formel an, findet den Scheitelpunkt bei (−b/2a, f(−b/2a)) und zeichnet die Parabel, damit Sie den Zusammenhang zwischen Gleichung und Lösungen visuell erfassen können.
Tipps & bewährte Praxis
Häufig gestellte Fragen
Was ist eine quadratische Gleichung?
Eine quadratische Gleichung ist eine Polynomgleichung zweiten Grades in der Form ax² + bx + c = 0, wobei a ≠ 0 gilt. Der Name „quadratisch“ kommt von „Quadrat“, da die Variable quadriert wird.
Was verrät uns die Diskriminante?
Die Diskriminante (b² − 4ac) offenbart die Natur der Nullstellen. Ist sie positiv, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen. Ist sie null, gibt es genau eine reelle Lösung (eine doppelte Nullstelle). Ist sie negativ, gibt es zwei komplex konjugierte Lösungen.
Wann gibt es keine reellen Lösungen?
Eine quadratische Gleichung hat keine reellen Lösungen, wenn die Diskriminante (b² − 4ac) negativ ist. Grafisch bedeutet das, dass die Parabel die x-Achse nicht schneidet. Die Lösungen existieren dann als komplexe Zahlen mit der imaginären Einheit i.
Welche Methoden gibt es, um quadratische Gleichungen zu lösen?
Sie können die Lösungsformel, das Faktorisieren, das quadratische Ergänzen oder das grafische Lösen verwenden. Die Lösungsformel funktioniert in allen Fällen, während das Faktorisieren am schnellsten ist, wenn die Gleichung einfache ganzzahlige Nullstellen hat.
Was ist der Scheitelpunkt einer Parabel?
Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt auf der Parabel. Für y = ax² + bx + c liegt die x-Koordinate des Scheitelpunkts bei −b/(2a), und die y-Koordinate erhalten Sie durch Einsetzen. Bei a > 0 ist der Scheitelpunkt ein Minimum, bei a < 0 ein Maximum.
Wie faktorisiert man eine quadratische Gleichung?
Um ax² + bx + c zu faktorisieren, suchen Sie zwei Zahlen, die multipliziert a·c und addiert b ergeben. Schreiben Sie den mittleren Term mit diesen Zahlen um und klammern Sie dann durch Gruppieren aus. Beispiel: x² − 5x + 6 lässt sich als (x − 2)(x − 3) faktorisieren, denn −2 × −3 = 6 und −2 + −3 = −5.
Was ist quadratisches Ergänzen?
Beim quadratischen Ergänzen wird ax² + bx + c in die Form a(x − h)² + k umgeschrieben. Bringen Sie c auf die andere Seite, addieren Sie (b/2a)² zu beiden Seiten und klammern Sie die linke Seite als perfektes Quadrat aus. Auf diese Weise wird die Lösungsformel selbst hergeleitet.
Kann eine quadratische Gleichung nur eine Lösung haben?
Ja. Wenn die Diskriminante 0 ist, hat die quadratische Gleichung genau eine doppelte reelle Nullstelle. Grafisch berührt die Parabel die x-Achse nur in einem Punkt (dem Scheitelpunkt). Beispiele sind x² − 6x + 9 = 0 mit der einzigen Nullstelle x = 3.
Was ist der Satz von Vieta?
Der Satz von Vieta verknüpft die Nullstellen einer quadratischen Gleichung mit ihren Koeffizienten. Für ax² + bx + c = 0 mit den Nullstellen r₁ und r₂ gilt: die Summe r₁ + r₂ = −b/a und das Produkt r₁ · r₂ = c/a. Das ist nützlich, um Ergebnisse zu überprüfen, ohne die Nullstellen direkt zu berechnen.
Wie werden quadratische Gleichungen im Alltag genutzt?
Quadratische Gleichungen modellieren den Flug von Geschossen (Ballwurf), berechnen Flächen für Optimierungsaufgaben, beschreiben die Form von Satellitenschüsseln und Parabolspiegeln und tauchen in Physik, Technik, Wirtschaft (Gewinnmaximierung) und Computergrafik auf.