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Verhältnis-Rechner

Lösen Sie Verhältnisproportionen a:b = c:d. Geben Sie drei Werte ein und finden Sie den fehlenden mit schrittweiser Herleitung.

: = :
Fehlender Wert
—
Vereinfachtes erstes Verhältnis
—
Vereinfachtes zweites Verhältnis
—

Schritt-für-Schritt-Lösung

    Formel

    Proportion: a : b = c : d
    Kreuzmultiplikation: a × d = b × c

    Um den fehlenden Wert zu ermitteln, isolieren Sie die Unbekannte per Kreuzmultiplikation. Wenn beispielsweise d unbekannt ist, gilt: d = (b × c) / a

    Beispiele

    So funktioniert's

    Ein Verhältnis vergleicht zwei Größen, geschrieben als a:b. Eine Proportion ist eine Aussage, dass zwei Verhältnisse gleich sind: a:b = c:d. Proportionen begegnen dir überall — beim Skalieren von Rezepten, Umrechnen von Einheiten, Arbeiten mit Karten, Mischen von Konzentrationen oder Anpassen von Bildgrößen. Sobald du drei der vier Werte kennst, ist der vierte eindeutig bestimmt.

    Das mathematische Werkzeug, mit dem eine Proportion gelöst wird, ist die Kreuzmultiplikation. Da a:b = c:d gleichwertig zu a/b = c/d ist, ergibt die Multiplikation beider Seiten mit b und d a × d = b × c. Aus dieser einzigen Identität kannst du die jeweils fehlende Variable isolieren — zum Beispiel d = (b × c) / a oder a = (b × c) / d. Dieser Rechner führt diese Algebra automatisch aus und reduziert jedes Verhältnis auf seine einfachste ganzzahlige Form mittels des größten gemeinsamen Teilers (ggT).

    Tipps & bewährte Praxis

    Lass genau ein Feld leer — der Rechner löst nach dem fehlenden Wert auf.
    Kreuzmultiplikation funktioniert in jede Richtung: a × d ist immer gleich b × c, wenn die Verhältnisse gleich sind.
    Ein vereinfachtes Verhältnis nutzt die kleinsten ganzen Zahlen, die dieselbe Beziehung bewahren — z. B. wird aus 4:6 das Verhältnis 2:3.
    Achte auf die Einheiten: Ein Verhältnis ist nur dann dimensionslos, wenn beide Größen dieselbe Einheit haben. 2 km : 500 m sollte als 2000 m : 500 m = 4:1 geschrieben werden.
    Wenn einer der bekannten Werte null ist, hat die Proportion möglicherweise keine eindeutige Lösung — prüfe, ob du keinen Wert vertippt hast.

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    Häufig gestellte Fragen

    Was ist der Unterschied zwischen einem Verhältnis und einer Proportion?

    Ein Verhältnis vergleicht zwei Größen (z. B. 3:4). Eine Proportion besagt, dass zwei Verhältnisse gleich sind (z. B. 3:4 = 6:8). Dieser Rechner löst Proportionen — aus drei der vier Werte findet er den vierten.

    Für eine Proportion a:b = c:d sind die Kreuzprodukte gleich: a × d = b × c. Diese Identität ergibt sich aus der Multiplikation beider Seiten von a/b = c/d mit b × d. Sobald du drei Werte kennst, kannst du die Identität umstellen, um nach dem vierten zu lösen.

    Ja. Die Proportionsidentität a × d = b × c gilt für alle reellen Zahlen, also kannst du Dezimalzahlen wie 2,5:3,7 = 5:d eingeben. Der Rechner gibt den fehlenden Wert zurück, vereinfacht aber nur zu ganzzahligen Verhältnissen, wenn alle vier Werte ganze Zahlen sind.

    Eine Proportion hat keine eindeutige Lösung, wenn der Wert, durch den du teilen würdest, null ist. Zum Beispiel erfordert das Lösen nach d in 0:5 = 3:d die Division durch 0. Prüfe deine Eingaben — meist erscheint eine Null versehentlich.

    Finde den größten gemeinsamen Teiler (ggT) beider Zahlen und teile jede durch ihn. Zum Beispiel hat 12:18 den ggT 6, wird also zu 2:3 vereinfacht. Der Rechner macht das automatisch, wenn beide Werte ganze Zahlen sind.