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Tangens-Rechner

Tippen Sie oder schieben Sie den Regler, um tan(θ) sofort auszuwerten. Exakte Werte erscheinen automatisch für die Standardwinkel (0°, 30°, 45°, 60°, 90°, …); überall sonst Dezimalwerte. Die Einheitskreis-Visualisierung aktualisiert sich live, und die Tangenskurve unten zeigt, wo die Funktion bei θ = 90° + 180°·k explodiert.

Winkel

Aktualisiert beim Tippen
Einheit
Maßeinheit ?
Winkel
Winkel (θ) ? —
°
−360°−180°0°180°360°
Schnellwinkel ?

Tastatur: Fokussieren Sie das Eingabefeld, dann ←/→, um 1° zu verschieben, Shift+←/→ für 15°. D/R/G wechseln die Einheiten.

Tangenskurve

y = tan(θ) — vertikale Asymptoten bei ±90°, ±270°
0° 90° 180° 270° 360° 450° 540° 630° 720°

Die Tangensfunktion wiederholt sich alle 180° (Periode π) und schießt bei jedem 90° + 180°·k gegen ±∞. Die grauen senkrechten Linien markieren diese Asymptoten; in ihrer Nähe führen winzige Verschiebungen in θ zu riesigen Sprüngen in tan(θ).

Rechenweg zeigen

    Referenz gängiger Winkel

    Tippen Sie auf eine Zeile, um sie zu laden · aktueller Winkel hervorgehoben
    GradRadsincostancot

    Formel

    tan(θ) = Gegenkathete Ankathete = sin(θ) cos(θ)
    Einheitskreis: tan(θ) ist die Steigung der Geraden vom Ursprung zum Punkt, den Sie erreichen, wenn Sie den Winkel θ gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse aus auf einem Kreis mit Radius 1 abtragen — gleichbedeutend mit der y-Koordinate dividiert durch die x-Koordinate dieses Punkts.
    Wertebereich & Periode: tan(θ) ∈ (−∞, +∞) und tan(θ + 180°) = tan(θ). Tangens ist außerdem eine ungerade Funktion: tan(−θ) = −tan(θ).
    Nicht definiert: tan(θ) ist nicht definiert, wenn cos(θ) = 0 ist — also bei θ = 90° + 180°·k (bzw. π/2 + π·k im Bogenmaß). An diesen Winkeln hat die Kurve eine senkrechte Asymptote.
    θ
    Der Winkel. Grad, Radiant oder Gradian — der Rechner normalisiert in beide Richtungen, Sie können beides eingeben.
    Gegenkathete
    Die Seite des rechtwinkligen Dreiecks, die θ gegenüberliegt.
    Ankathete
    Die Seite des rechtwinkligen Dreiecks, die an θ anliegt und nicht die Hypotenuse ist.
    Bezugswinkel
    Der spitze Winkel zwischen dem Endschenkel und der nächstgelegenen x-Achse. tan(θ) und tan(Bezugswinkel) haben den gleichen Betrag; das Vorzeichen bestimmt der Quadrant.
    Vorzeichen je Quadrant
    tan ist positiv in den Quadranten I und III, negativ in II und IV.
    Rechenbeispiel — Ihre Zahlen
    1. Winkel θ = —
    2. In Radiant umrechnen = —
    3. Quadrant = — → Vorzeichen des Tangens ist —
    4. sin(θ) = —,   cos(θ) = —
    5. tan(θ) = sin / cos = —
    6. tan(θ) = —

    Wenn θ einer der Standardwinkel ist (0°, 30°, 45°, 60°, …), zeigt der Rechner den exakten Wert an (z. B. √3, √3/3). Andernfalls nutzt er einen hochpräzisen Dezimalwert.

    Beispiele

    So funktioniert's

    Der Tangens eines Winkels ist im rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete des Winkels. Gleichwertig ist tan(θ) auf dem Einheitskreis die Steigung der Geraden vom Ursprung zu dem Punkt, der durch Drehung um den Winkel θ gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse aus erreicht wird — also die y-Koordinate geteilt durch die x-Koordinate dieses Punkts.

    Da cos(θ) im Nenner steht, ist tan(θ) undefiniert, wann immer cos(θ) = 0 — bei θ = 90°, 270°, 450°, … (oder π/2 + π·k in Radiant). Der Graph von y = tan(θ) hat bei jedem dieser Winkel eine vertikale Asymptote: Wenn sich θ ihnen nähert, schießt tan(θ) von der einen Seite auf +∞ und von der anderen auf −∞.

    Die Funktion ist periodisch mit einer Periode von 180° (π Radiant), also tan(θ + 180°) = tan(θ). Sie ist außerdem ungerade, das heißt tan(−θ) = −tan(θ). Zusammen bedeutet das, dass die Kenntnis von tan(θ) im Intervall (−90°, 90°) ausreicht, um ihn überall sonst zu kennen — jeder andere Eingang ist nur eine verschobene oder gespiegelte Kopie.

    Für Klausur- und Lehrbuchaufgaben haben die kanonischen Winkel 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, … alle exakte Tangenswerte, die aus √2 und √3 gebildet sind. Der Rechner zeigt diese exakten Formen automatisch (z. B. tan(60°) = √3, tan(30°) = √3/3); für jeden anderen Winkel fällt er auf eine hochpräzise Dezimalzahl zurück.

    Tipps & bewährte Praxis

    Tangens hat eine Periode von 180°, nicht 360° wie Sinus und Kosinus — 180° addieren oder subtrahieren ergibt denselben Wert.
    tan ist positiv in den Quadranten I und III (wo sin und cos dasselbe Vorzeichen haben) und negativ in II und IV (wo sie sich unterscheiden).
    In der Nähe von 90°, 270° usw. führen winzige Änderungen des Winkels zu riesigen Änderungen in tan(θ). Behandeln Sie Ergebnisse über ~10⁶ als effektiv unbegrenzt.
    Nutzen Sie den Referenzwinkel-Trick: tan(θ) und tan seines Referenzwinkels haben denselben Betrag — nur das Vorzeichen des Quadranten ändert sich.
    In Radiant liegen die Asymptoten bei π/2, 3π/2, 5π/2, … — praktisch, wenn Sie in reiner Radiantform arbeiten.

    Verwandte Rechner

    Sinus-Rechner
    Höhere Mathematik
    Kosinus-Rechner
    Höhere Mathematik
    Kotangens-Rechner
    Höhere Mathematik

    Häufig gestellte Fragen

    Warum ist tan(90°) undefiniert?

    Weil tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) und cos(90°) = 0. Division durch null hat keinen definierten Wert, also bleibt tan(90°) undefiniert. Dasselbe passiert bei jedem Winkel der Form 90° + 180°·k.

    Multiplizieren Sie Grad mit π/180, um Radiant zu erhalten, oder Radiant mit 180/π, um Grad zu erhalten. Also 45° = π/4 ≈ 0,785 rad und 1 rad ≈ 57,296°.

    tan hat eine Periode von 180° (π Radiant) — die Hälfte der Periode von Sinus und Kosinus. Das bedeutet tan(45°) = tan(225°) = tan(405°) = 1 und so weiter.

    Verwenden Sie Grad für Geometrie, Vermessung, Navigation und die meisten Alltagsmessungen. Verwenden Sie Radiant für Analysis, Physik, Ingenieurwesen und jeden Kontext, in dem Ableitungen oder Bogenlängen eine Rolle spielen — d/dx[tan(x)] = sec²(x) gilt nur, wenn x in Radiant ist.

    Ein Gon (oder Neugrad) teilt einen rechten Winkel in 100 Teile, also umfasst ein voller Kreis 400 gon. Es wird hauptsächlich in der Vermessung verwendet. Der Rechner unterstützt es über den GRAD-Schalter.

    Den Winkel auf einem Kreis mit Radius 1 zu zeichnen, macht die trigonometrischen Werte geometrisch sichtbar: cos(θ) ist die x-Koordinate des Punkts, sin(θ) ist die y-Koordinate, und tan(θ) ist die Steigung der Geraden vom Ursprung zu diesem Punkt — also genau y/x = sin/cos.

    Nein — tan ist eine ungerade Funktion: tan(−θ) = −tan(θ). Zum Beispiel tan(−45°) = −1, während tan(45°) = 1. Sinus ist auch ungerade, aber Kosinus ist gerade (cos(−θ) = cos(θ)).